Deneysel verilere yaklaşım, deneysel olarak elde edilen verileri, orijinal değerlere (bir deney veya deney sırasında elde edilen veriler) en yakın şekilde geçen veya düğüm noktalarında çakışan bir analitik fonksiyonla değiştirmeye dayanan bir yöntemdir. Şu anda analitik bir fonksiyonu tanımlamanın iki yolu vardır:

Aşağıdakileri geçen n derecelik bir enterpolasyon polinomu oluşturarak tüm noktalardan doğrudan belirli bir veri dizisi. Bu durumda, yaklaşıklık fonksiyonu şu şekilde sunulur: Lagrange formunda bir enterpolasyon polinomu veya Newton formunda bir enterpolasyon polinomu.

n derecelik yaklaşık bir polinom oluşturarak noktaların hemen yakınında belirli bir veri dizisinden. Böylece, yaklaşıklaştırma fonksiyonu, deney sırasında ortaya çıkabilecek tüm rastgele gürültüyü (veya hataları) düzeltir: deney sırasında ölçülen değerler, kendi rastgele yasalarına göre dalgalanan rastgele faktörlere (ölçüm veya cihaz hataları, yanlışlık veya deneysel) bağlıdır. hatalar). Bu durumda yaklaşım fonksiyonu en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenir.

En küçük kareler yöntemi(İngilizce literatürde Sıradan En Küçük Kareler, OLS), belirli bir deneysel veri dizisindeki noktalara en yakın mesafede oluşturulan yaklaşım fonksiyonunun belirlenmesine dayanan matematiksel bir yöntemdir. Orijinal ve yaklaşık fonksiyonlar F(x)'in yakınlığı sayısal bir ölçümle belirlenir, yani: deneysel verilerin F(x) yaklaşım eğrisinden sapmalarının karelerinin toplamı en küçük olmalıdır.

En küçük kareler yöntemi kullanılarak oluşturulan yaklaşık eğri

En küçük kareler yöntemi kullanılır:

Denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu durumlarda aşırı belirlenmiş denklem sistemlerini çözmek;

Sıradan (aşırı belirlenmemiş) doğrusal olmayan denklem sistemleri durumunda çözüm bulmak;

Bazı yaklaşma fonksiyonlarıyla nokta değerlerine yaklaşmak.

En küçük kareler yöntemini kullanan yaklaşım fonksiyonu, belirli bir deneysel veri dizisinden hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun minimum karesel sapmalarının toplamı koşulundan belirlenir. En küçük kareler yönteminin bu kriteri aşağıdaki ifadeyle yazılır:

Düğüm noktalarında hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun değerleri,

Düğüm noktalarında belirli bir deneysel veri dizisi.

İkinci dereceden kriter, polinom yaklaşım fonksiyonlarıyla yaklaşım problemine benzersiz bir çözüm sağlayan, türevlenebilirlik gibi bir dizi "iyi" özelliğe sahiptir.

Problemin koşullarına bağlı olarak, yaklaşım fonksiyonu m dereceli bir polinomdur.

Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi düğüm noktalarının sayısına bağlı değildir ancak boyutu her zaman belirli bir deneysel veri dizisinin boyutundan (nokta sayısından) daha az olmalıdır.

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=1 ise tablo fonksiyonuna düz bir çizgiyle yaklaşırız (doğrusal regresyon).

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=2 ise, tablo fonksiyonuna ikinci dereceden bir parabol (ikinci dereceden yaklaşım) ile yaklaşırız.

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=3 ise tablo fonksiyonuna kübik parabol (kübik yaklaşım) ile yaklaşırız.

Genel durumda, verilen tablo değerleri için m dereceli yaklaşık bir polinom oluşturmak gerektiğinde, tüm düğüm noktaları üzerindeki sapmaların karelerinin toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:

- m dereceli yaklaşık polinomun bilinmeyen katsayıları;

Belirtilen tablo değerlerinin sayısı.

Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. . Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim: parantezleri açın ve serbest terimleri ifadenin sağ tarafına taşıyın. Sonuç olarak, ortaya çıkan doğrusal cebirsel ifadeler sistemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

Bu doğrusal cebirsel ifadeler sistemi matris biçiminde yeniden yazılabilir:

Sonuç olarak, m+1 bilinmeyenlerden oluşan, m+1 boyutunda bir doğrusal denklem sistemi elde edildi. Bu sistem, doğrusal cebirsel denklemleri çözmek için herhangi bir yöntem (örneğin, Gauss yöntemi) kullanılarak çözülebilir. Çözümün bir sonucu olarak, yaklaşıklık fonksiyonunun orijinal verilerden sapmalarının karelerinin minimum toplamını sağlayan, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen parametreleri bulunacaktır; mümkün olan en iyi ikinci dereceden yaklaşım. Kaynak verinin tek bir değeri bile değişse tüm katsayıların değerlerinin tamamen kaynak veri tarafından belirlendiğinden dolayı değişeceği unutulmamalıdır.

Kaynak verilerine doğrusal bağımlılıkla yaklaşım

(doğrusal regresyon)

Örnek olarak, doğrusal bağımlılık biçiminde belirtilen yaklaşım fonksiyonunu belirleme tekniğini ele alalım. En küçük kareler yöntemine göre sapmaların minimum kareleri toplamının koşulu aşağıdaki biçimde yazılır:

Tablo düğümlerinin koordinatları;

Doğrusal bağımlılık olarak belirtilen, yaklaşık fonksiyonun bilinmeyen katsayıları.

Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim.

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini çözüyoruz. Yaklaşım fonksiyonunun analitik formdaki katsayıları aşağıdaki şekilde belirlenir (Cramer yöntemi):

Bu katsayılar, yaklaşık fonksiyonun karelerinin toplamını verilen tablo değerlerinden (deneysel veriler) en aza indirme kriterine uygun olarak doğrusal bir yaklaşım fonksiyonunun oluşturulmasını sağlar.

En küçük kareler yöntemini uygulamaya yönelik algoritma

1. Başlangıç ​​verileri:

Ölçüm sayısı N ile belirtilen bir deneysel veri dizisi

Yaklaşan polinomun (m) derecesi belirtilir

2. Hesaplama algoritması:

2.1. Katsayılar, boyutları olan bir denklem sistemi oluşturmak için belirlenir.

Denklem sisteminin katsayıları (denklemin sol tarafı)

- denklem sisteminin kare matrisinin sütun numarasının indeksi

Doğrusal denklem sisteminin serbest terimleri (denklemin sağ tarafı)

- denklem sisteminin kare matrisinin satır numarasının indeksi

2.2. Boyutlu doğrusal denklem sisteminin oluşturulması.

2.3. M dereceli yaklaşık bir polinomun bilinmeyen katsayılarını belirlemek için bir doğrusal denklem sisteminin çözülmesi.

2.4 Tüm düğüm noktalarında yaklaşık polinomun orijinal değerlerden kare sapmalarının toplamının belirlenmesi.

Sapmaların karelerinin toplamının bulunan değeri mümkün olan minimum değerdir.

Diğer fonksiyonları kullanarak yaklaşım

Orijinal verilere en küçük kareler yöntemine göre yaklaşılırken bazen yaklaşıklaştırma işlevi olarak logaritmik fonksiyonun, üstel fonksiyonun ve güç fonksiyonunun kullanıldığı unutulmamalıdır.

Logaritmik yaklaşım

Yaklaşım fonksiyonunun formun logaritmik fonksiyonu tarafından verildiği durumu ele alalım:

Belirli bir fiziksel nicelik başka bir niceliğe bağlıysa, bu bağımlılık y'nin farklı x değerlerinde ölçülmesiyle incelenebilir. Ölçümler sonucunda bir takım değerler elde edilir:

x 1, x 2, ..., xi, ..., xn;

y 1 , y 2 , ..., y ben , ... , y n .

Böyle bir deneyin verilerine dayanarak, y = ƒ(x) bağımlılığının bir grafiğini oluşturmak mümkündür. Ortaya çıkan eğri, ƒ(x) fonksiyonunun biçimini değerlendirmeyi mümkün kılar. Ancak bu fonksiyona giren sabit katsayılar bilinmemektedir. En küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenebilirler. Deneysel noktalar kural olarak tam olarak eğrinin üzerinde yer almaz. En küçük kareler yöntemi, deneysel noktaların eğriden sapmalarının karelerinin toplamının, yani; 2 en küçüğüydü.

Uygulamada, bu yöntem çoğunlukla (ve en basit şekilde) doğrusal bir ilişki durumunda kullanılır; Ne zaman

y = kx veya y = a + bx.

Doğrusal bağımlılık fizikte çok yaygındır. İlişki doğrusal olmadığında bile genellikle düz bir çizgi elde edecek şekilde bir grafik oluşturmaya çalışırlar. Örneğin, camın n kırılma indisinin ışık dalga boyu λ ile n = a + b/λ 2 ilişkisi ile ilişkili olduğu varsayılırsa, o zaman n'nin λ -2'ye bağımlılığı grafikte gösterilir.

Bağımlılığı göz önünde bulundurun y = kx(Orijinden geçen düz bir çizgi). Noktalarımızın düz çizgiden sapmalarının karelerinin toplamı φ değerini oluşturalım.

φ değeri her zaman pozitiftir ve noktalarımız düz çizgiye yaklaştıkça küçülür. En küçük kareler yöntemi, k değerinin, φ minimum değere sahip olacak şekilde seçilmesi gerektiğini belirtir.

veya
(19)

Hesaplama, k değerinin belirlenmesindeki ortalama karekök hatasının şuna eşit olduğunu göstermektedir:

, (20)
burada n ölçüm sayısıdır.

Şimdi noktaların formülü karşılaması gereken biraz daha zor bir durumu ele alalım. y = a + bx(Orijinden geçmeyen düz bir çizgi).

Görev, mevcut x i, y i değer kümesinden a ve b'nin en iyi değerlerini bulmaktır.

x i, y i noktalarının düz çizgiden sapmalarının karelerinin toplamına eşit ikinci dereceden φ formunu yeniden oluşturalım.

ve φ'nin minimum olduğu a ve b değerlerini bulun

;

.

Bu denklemlerin ortak çözümü şunu verir:

(21)

a ve b'nin belirlenmesindeki ortalama kare hataları eşittir

(23)

.  (24)

Bu yöntemi kullanarak ölçüm sonuçlarını işlerken, tüm verileri formül (19)(24)'te yer alan tüm miktarların ön olarak hesaplandığı bir tabloda özetlemek uygundur. Bu tabloların formları aşağıdaki örneklerde verilmiştir.

Örnek 1. Dönme hareketinin dinamiğinin temel denklemi ε = M/J (orijinden geçen düz bir çizgi) incelenmiştir. M anının farklı değerlerinde, belirli bir cismin açısal ivmesi ε ölçüldü. Bu cismin eylemsizlik momentinin belirlenmesi gerekmektedir. Kuvvet momenti ve açısal ivme ölçümlerinin sonuçları ikinci ve üçüncü sütunlarda listelenmiştir. masa 5.

Tablo 5

Formül (19)'u kullanarak şunu belirleriz:

.

Kök ortalama kare hatasını belirlemek için formül (20) kullanıyoruz

0.005775kilogram-1 · M -2 .

Formül (18)'e göre elimizde

SJ = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

Güvenilirliği P = 0,95 olarak ayarladıktan sonra, n = 5 için Öğrenci katsayıları tablosunu kullanarak, t = 2,78'i buluruz ve mutlak hatayı ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 belirleriz. kg m2.

Sonuçları forma yazalım:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

Örnek 2. En küçük kareler yöntemini kullanarak metal direncinin sıcaklık katsayısını hesaplayalım. Direnç doğrusal olarak sıcaklığa bağlıdır

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Serbest terim, 0 ° C sıcaklıkta R 0 direncini belirler ve eğim katsayısı, sıcaklık katsayısı α ile R 0 direncinin çarpımıdır.

Ölçümlerin ve hesaplamaların sonuçları tabloda verilmiştir ( bkz. tablo 6).

Tablo 6

(21), (22) formüllerini kullanarak şunu belirleriz:

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.

α'nın tanımındaki bir hatayı bulalım. O zamandan beri formül (18)'e göre elimizde:

.

(23), (24) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

;

0.014126 Ohm.

Güvenilirliği P = 0,95 olarak ayarladıktan sonra, n = 6 için Öğrenci katsayıları tablosunu kullanarak, t = 2,57'yi buluyoruz ve mutlak hatayı Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 belirliyoruz. derece -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 dolu P = 0,95'te -1.

Örnek 3. Newton halkalarını kullanarak merceğin eğrilik yarıçapını belirlemek gerekir. Newton halkalarının r m yarıçapları ölçüldü ve bu m halkalarının sayıları belirlendi. Newton halkalarının yarıçapları, R merceğinin eğrilik yarıçapı ve halka sayısı ile aşağıdaki denklemle ilişkilidir:

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

burada d 0 mercek ile paralel düzlem plaka arasındaki boşluğun kalınlığı (veya merceğin deformasyonu),

λ gelen ışığın dalga boyu.

λ = (600 ± 6) nm;
r2m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

o zaman denklem şu şekli alacaktır y = a + bx.

Ölçüm ve hesaplamaların sonuçları sisteme girilir. masa 7.

Tablo 7

En küçük kareler yöntemi, en yaygın ve en gelişmiş yöntemlerden biridir. Doğrusal parametrelerin tahmin edilmesine yönelik yöntemlerin basitliği ve etkinliği. Aynı zamanda, onu kullanırken bazı dikkatli olunmalıdır, çünkü onu kullanarak oluşturulan modeller, parametrelerinin kalitesine ilişkin bir dizi gereksinimi karşılamayabilir ve sonuç olarak süreç geliştirme kalıplarını "iyi" yansıtmayabilir. yeterli.

En küçük kareler yöntemini kullanarak doğrusal bir ekonometrik modelin parametrelerini tahmin etme prosedürünü daha ayrıntılı olarak ele alalım. Böyle bir model genel olarak denklem (1.2) ile temsil edilebilir:

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t.

a 0 , a 1 ,..., a n parametrelerini tahmin ederken ilk veriler, bağımlı değişkenin değerlerinin bir vektörüdür sen= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ve bağımsız değişkenlerin değerleri matrisi

bunlardan oluşan ilk sütunun model katsayısına karşılık geldiği.

En küçük kareler yöntemi, adını, bu yönteme dayanarak elde edilen parametre tahminlerinin karşılaması gereken temel prensibe dayanarak almıştır: model hatasının karelerinin toplamı minimum olmalıdır.

En küçük kareler yöntemini kullanarak problem çözme örnekleri

Örnek 2.1. Ticari işletmenin 12 mağazadan oluşan bir ağı vardır ve faaliyetlerine ilişkin bilgiler tabloda sunulmaktadır. 2.1.

İşletmenin yönetimi, yıllık tutarın mağazanın perakende alanına nasıl bağlı olduğunu bilmek istiyor.

Tablo 2.1

En küçük kareler çözümü. Mağazanın yıllık cirosu milyon ruble olsun; — mağazanın perakende alanı, bin m2.

Şekil 2.1. Örnek 2.1 için Dağılım Grafiği

Değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkinin biçimini belirlemek için bir dağılım diyagramı oluşturacağız (Şekil 2.1).

Dağılım diyagramına dayanarak, yıllık cironun perakende alanına pozitif yönde bağlı olduğu sonucuna varabiliriz (yani, y arttıkça artacaktır). En uygun fonksiyonel bağlantı şekli doğrusal.

Daha fazla hesaplamaya yönelik bilgiler tabloda sunulmaktadır. 2.2. En küçük kareler yöntemini kullanarak doğrusal tek faktörlü ekonometrik modelin parametrelerini tahmin ediyoruz

Tablo 2.2

Böylece,

Dolayısıyla perakende alanının 1 bin m2 artmasıyla diğer koşullar eşit olduğunda ortalama yıllık ciro 67.8871 milyon ruble artıyor.

Örnek 2.2.Şirketin yönetimi, yıllık cironun yalnızca mağazanın satış alanına değil (bkz. örnek 2.1) değil aynı zamanda ortalama ziyaretçi sayısına da bağlı olduğunu fark etti. İlgili bilgiler tabloda sunulmaktadır. 2.3.

Tablo 2.3

Çözüm. Mağazanın günlük ortalama ziyaretçi sayısını bin kişi olarak ifade edelim.

Değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkinin biçimini belirlemek için bir dağılım diyagramı oluşturacağız (Şekil 2.2).

Dağılım grafiğine dayanarak, yıllık cironun günlük ortalama ziyaretçi sayısına pozitif olarak bağlı olduğu sonucuna varabiliriz (yani, y arttıkça artacaktır). Fonksiyonel bağımlılığın şekli doğrusaldır.

Pirinç. 2.2. Örnek 2.2 için Dağılım Grafiği

Tablo 2.4

Genel olarak iki faktörlü bir ekonometrik modelin parametrelerinin belirlenmesi gerekmektedir.

y t = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Daha ileri hesaplamalar için gerekli bilgiler tabloda sunulmaktadır. 2.4.

En küçük kareler yöntemini kullanarak doğrusal iki faktörlü ekonometrik modelin parametrelerini tahmin edelim.

Böylece,

Katsayının tahmini =61,6583, diğer koşullar eşit olduğunda perakende alanının 1 bin m 2 artmasıyla yıllık cironun ortalama 61,6583 milyon ruble artacağını gösteriyor.

Ben bir matematikçi ve programcıyım. Kariyerimde attığım en büyük adım şunu söylemeyi öğrendiğim zamandı: "Hiç birşey anlamıyorum!" Artık bilimin aydınına bana ders verdiğini, onun, aydının bana ne söylediğini anlamadığımı söylemekten utanmıyorum. Ve bu çok zor. Evet, cehaletinizi kabul etmek zor ve utanç vericidir. Kim bir şeyin temellerini bilmediğini itiraf etmekten hoşlanır? Mesleğim gereği çok sayıda sunum ve derse katılmak zorunda kalıyorum ve itiraf etmeliyim ki çoğu durumda hiçbir şey anlamadığım için uyumak istiyorum. Ama anlamıyorum çünkü bilimdeki mevcut durumun en büyük sorunu matematikte yatıyor. Tüm dinleyicilerin matematiğin tüm alanlarına kesinlikle aşina olduklarını varsayar (ki bu saçmadır). Türevin ne olduğunu bilmediğinizi kabul etmek (ne olduğuna biraz sonra değineceğiz) utanç vericidir.

Ama çarpmanın ne olduğunu bilmediğimi söylemeyi öğrendim. Evet, Lie cebiri üzerindeki alt cebirin ne olduğunu bilmiyorum. Evet, hayatta ikinci dereceden denklemlere neden ihtiyaç duyulduğunu bilmiyorum. Bu arada, bildiğinden eminsen konuşacak bir şeyimiz var demektir! Matematik bir dizi hiledir. Matematikçiler halkın kafasını karıştırmaya ve gözünü korkutmaya çalışırlar; Karışıklığın olmadığı yerde itibar da olmaz, otorite de olmaz. Evet, olabildiğince soyut bir dille konuşmak prestijlidir ki bu da tam bir saçmalıktır.

Türevin ne olduğunu biliyor musun? Büyük ihtimalle bana fark oranının limitini anlatacaksınız. St. Petersburg Devlet Üniversitesi'nde matematik ve mekaniğin ilk yılında Viktor Petrovich Khavin bana şunları söyledi: azimli Bir fonksiyonun Taylor serisinin ilk teriminin katsayısı olarak türev (bu, türevsiz Taylor serisini belirlemek için ayrı bir jimnastikti). Sonunda neyle ilgili olduğunu anlayana kadar bu tanıma uzun süre güldüm. Türev, türevini aldığımız fonksiyonun y=x, y=x^2, y=x^3 fonksiyonuna ne kadar benzer olduğunun basit bir ölçüsünden başka bir şey değildir.

Artık öğrencilere ders verme onuruna sahibim. korkmuş matematik. Eğer matematikten korkuyorsanız biz de aynı yoldayız. Bir metni okumaya çalıştığınızda ve size aşırı karmaşık göründüğünde, bunun kötü yazıldığını bilin. Doğruluğunu kaybetmeden “parmaklarda” tartışılamayacak tek bir matematik alanı olmadığını iddia ediyorum.

Yakın gelecek için ödev: Öğrencilerime doğrusal ikinci dereceden düzenleyicinin ne olduğunu anlamalarını verdim. Utanmayın, hayatınızın üç dakikasını geçirin ve bağlantıyı takip edin. Eğer hiçbir şey anlamıyorsan, o zaman aynı yoldayız. Ben (profesyonel bir matematikçi-programcı) da hiçbir şey anlamadım. Ve sizi temin ederim ki, bunu "parmaklarınızla" çözebilirsiniz. Şu anda ne olduğunu bilmiyorum ama sizi temin ederim ki çözebileceğiz.

Öğrencilerime dehşet içinde koşarak yanıma gelip doğrusal-ikinci dereceden düzenleyicinin hayatınızda asla ustalaşamayacağınız korkunç bir şey olduğunu söylediklerinde onlara vereceğim ilk ders şu olacaktır: en küçük kareler yöntemleri. Doğrusal denklemleri çözebilir misiniz? Bu metni okuyorsanız, büyük olasılıkla hayır.

Yani, (x0, y0), (x1, y1) gibi iki nokta (1,1) ve (3,2) verildiğinde görev, bu iki noktadan geçen çizginin denklemini bulmaktır:

illüstrasyon

Bu satırın aşağıdaki gibi bir denklemi olması gerekir:

Burada alfa ve beta bizim tarafımızdan bilinmiyor, ancak bu doğrunun iki noktası biliniyor:

Bu denklemi matris formunda yazabiliriz:

Burada lirik bir inceleme yapmalıyız: matris nedir? Bir matris, iki boyutlu bir diziden başka bir şey değildir. Bu, verileri saklamanın bir yoludur; ona başka bir anlam yüklenmemelidir. Belirli bir matrisin tam olarak nasıl yorumlanacağı bize bağlıdır. Periyodik olarak bunu doğrusal bir haritalama olarak, periyodik olarak ikinci dereceden bir form olarak ve bazen de basitçe bir vektör kümesi olarak yorumlayacağım. Bunların hepsi bağlamda açıklığa kavuşturulacaktır.

Somut matrisleri sembolik temsilleriyle değiştirelim:

O zaman (alfa, beta) kolayca bulunabilir:

Daha spesifik olarak önceki verilerimiz için:

Bu, (1,1) ve (3,2) noktalarından geçen doğrunun aşağıdaki denklemine yol açar:

Tamam, burada her şey açık. İçinden geçen doğrunun denklemini bulalım üç puanlar: (x0,y0), (x1,y1) ve (x2,y2):

Oh-oh-oh, ama iki bilinmeyen için üç denklemimiz var! Standart bir matematikçi çözümün olmadığını söyleyecektir. Programcı ne diyecek? Ve ilk önce önceki denklem sistemini aşağıdaki biçimde yeniden yazacak:

Bizim durumumuzda i, j, b vektörleri üç boyutludur, dolayısıyla (genel durumda) bu sistemin çözümü yoktur. Herhangi bir vektör (alfa\*i + beta\*j), (i, j) vektörlerinin kapsadığı düzlemde yer alır. Eğer b bu düzleme ait değilse çözüm yoktur (denklemde eşitlik sağlanamaz). Ne yapalım? Bir uzlaşma arayalım. ile belirtelim e(alfa, beta) eşitliği tam olarak ne kadar sağlayamadık:

Ve bu hatayı en aza indirmeye çalışacağız:

Neden kare?

Sadece normun minimumunu değil, normun karesinin minimumunu da arıyoruz. Neden? Minimum noktanın kendisi çakışır ve kare düzgün bir fonksiyon verir (argümanların ikinci dereceden bir fonksiyonu (alfa, beta)), oysa basitçe uzunluk, minimum noktada türevlenemeyen koni şeklinde bir fonksiyon verir. Br. Bir kare daha uygundur.

Açıkçası, vektör kullanıldığında hata en aza indirilir. e vektörlerin kapsadığı düzleme dik Ben Ve J.

İllüstrasyon

Başka bir deyişle: tüm noktalardan bu düz çizgiye olan mesafelerin kare uzunluklarının toplamı minimum olacak şekilde bir düz çizgi arıyoruz:

GÜNCELLEME: Burada bir sorunum var, düz çizgiye olan mesafe dik projeksiyonla değil dikey olarak ölçülmeli. Yorumcu haklı.

İllüstrasyon

Tamamen farklı bir deyişle (dikkatlice, kötü biçimlendirilmiş, ancak açık olmalı): tüm nokta çiftleri arasındaki olası tüm çizgileri alıyoruz ve hepsi arasındaki ortalama çizgiyi arıyoruz:

İllüstrasyon

Diğer bir açıklama ise basittir: Tüm veri noktaları (burada üç tane var) ile aradığımız düz çizgi arasına bir yay bağlarız ve denge durumunun düz çizgisi tam olarak aradığımız şeydir.

Minimum ikinci dereceden form

Başka bir deyişle, şöyle bir x=(alfa, beta) vektörü arıyoruz:

Bu x=(alfa, beta) vektörünün ikinci dereceden ||e(alfa, beta)||^2 fonksiyonunun minimumu olduğunu hatırlatmama izin verin:

Burada matrisin ikinci dereceden bir form olarak da yorumlanabileceğini hatırlamak faydalı olacaktır; örneğin birim matris ((1,0),(0,1)) x^2 + y^ fonksiyonu olarak yorumlanabilir. 2:

ikinci dereceden form

Bütün bu jimnastik doğrusal regresyon adı altında bilinir.

Dirichlet sınır koşuluyla Laplace denklemi

Orijinal taahhüt mevcuttur. Dış bağımlılıkları en aza indirmek için halihazırda Habré'de bulunan yazılım oluşturucumun kodunu aldım. Doğrusal bir sistemi çözmek için OpenNL kullanıyorum, bu mükemmel bir çözücüdür, ancak kurulumu çok zordur: iki dosyayı (.h+.c) projenizin bulunduğu klasöre kopyalamanız gerekir. Tüm yumuşatma aşağıdaki kodla yapılır:

İçin (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&yüz = yüzler[i]; for (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y ve Z koordinatları ayrılabilir, bunları ayrı ayrı düzeltiyorum. Yani, her biri modelimdeki köşe sayısına eşit sayıda değişken içeren üç doğrusal denklem sistemini çözüyorum. A matrisinin ilk n satırı, satır başına yalnızca bir 1'e sahiptir ve b vektörünün ilk n satırı, orijinal model koordinatlarına sahiptir. Yani tepe noktasının yeni konumu ile tepe noktasının eski konumu arasına bir yay bağlıyorum - yeniler eskilerinden çok uzaklaşmamalı.

A matrisinin sonraki tüm satırları (faces.size()*3 = ağdaki tüm üçgenlerin kenar sayısı) bir kez 1 ve bir kez -1 oluşumuna sahiptir; b vektörü bunun karşısında sıfır bileşene sahiptir. Bu, üçgen ağımızın her bir kenarına bir yay yerleştirdiğim anlamına gelir: tüm kenarlar, başlangıç ​​ve bitiş noktalarıyla aynı tepe noktasını almaya çalışır.

Tekrar ediyorum: tüm köşeler değişkendir ve orijinal konumlarından uzaklaşamazlar ancak aynı zamanda birbirlerine benzemeye çalışırlar.

İşte sonuç:

Her şey yoluna girecekti, model gerçekten yumuşatıldı ama orijinal kenarından uzaklaştı. Kodu biraz değiştirelim:

İçin (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

A matrisimizde kenardaki köşeler için v_i = verts[i][d] kategorisinden bir satır değil, 1000*v_i = 1000*verts[i][d] kategorisinden bir satır ekliyorum. Neyi değiştirir? Bu da ikinci dereceden hata biçimimizi değiştiriyor. Artık kenarda üstten tek bir sapma, eskisi gibi bir birime değil, 1000*1000 birime mal olacak. Yani uç köşelere daha güçlü bir yay astık, çözüm diğerlerini daha güçlü bir şekilde germeyi tercih edecek. İşte sonuç:

Köşeler arasındaki yay kuvvetini ikiye katlayalım:
nlKatsayısı(yüz[ j ], 2); nlKatsayısı(yüz[(j+1)%3], -2);

Yüzeyin daha pürüzsüz hale gelmesi mantıklıdır:

Ve şimdi yüz kat daha güçlü:

Bu nedir? Bir tel halkayı sabunlu suya batırdığımızı hayal edin. Sonuç olarak, ortaya çıkan sabun filmi, sınıra - tel halkamıza - dokunarak mümkün olan en az eğriliğe sahip olmaya çalışacaktır. Sınırı sabitleyerek ve içeride pürüzsüz bir yüzey isteyerek elde ettiğimiz şey tam olarak budur. Tebrikler, Laplace denklemini Dirichlet sınır koşullarıyla çözdük. Kulağa hoş geliyor mu? Ancak gerçekte tek bir doğrusal denklem sistemini çözmeniz yeterlidir.

Poisson denklemi

Diyelim ki şöyle bir resmim var:

Herkese iyi görünüyor ama sandalyeyi sevmiyorum.

Resmi ikiye böleceğim:

Ve ellerimle bir sandalye seçeceğim:

Daha sonra maskede beyaz olan her şeyi resmin sol tarafına çekeceğim ve aynı zamanda resim boyunca iki komşu piksel arasındaki farkın sağdaki iki komşu piksel arasındaki farka eşit olması gerektiğini söyleyeceğim. resim:

İçin (int i=0; i

İşte sonuç:

Hayattan örnek

Bunun gibi birkaç kumaş numunesi fotoğrafım var:

Benim görevim bu kalitede fotoğraflardan kesintisiz dokular oluşturmak. Başlamak için (otomatik olarak) yinelenen bir model arıyorum:

Bu dörtgeni düz bir şekilde kesersem, çarpıklık nedeniyle kenarlar birleşmeyecektir; işte dört kez tekrarlanan bir model örneği:

Gizli metin

İşte dikişin açıkça görülebildiği bir parça:

Bu nedenle düz bir çizgi boyunca kesmeyeceğim, işte kesme çizgisi:

Gizli metin

Ve işte dört kez tekrarlanan bir model:

Gizli metin

Ve daha açık hale getirmek için bir kısmı:

Zaten daha iyi, kesim her türlü bukleden kaçınarak düz bir çizgide gitmedi, ancak orijinal fotoğraftaki düzensiz ışık nedeniyle dikiş hala görülebiliyor. Poisson denklemi için en küçük kareler yönteminin imdadımıza yetiştiği yer burasıdır. Aydınlatmayı düzleştirdikten sonra nihai sonuç:

Doku mükemmel bir şekilde kusursuz bir şekilde ortaya çıktı ve tüm bunlar otomatik olarak çok vasat kalitede bir fotoğraftan geldi. Matematikten korkmayın, basit açıklamalar arayın, mühendislikte mutlu olacaksınız.